Nació el 26 de mayo de 1970 en Salisbury, Reino Unido. Hijo de la novelista Jennifer Lash y el fotógrafo Mark Fiennes, Joseph se graduó en 1993 en la London's Guildhall School of Music and Drama. Después de varios años trabajando en la prestigiosa Royal Shakespeare Company, donde protagonizó obras clásicas y contemporáneas.
Sin embargo, su reconocimiento internacional llegó con el papel en Shakespeare in Love. También ha recibido buenas críticas por sus trabajos en películas como Suavemente me mata, Enemigo a las puertas, El mercader de Venecia y Lutero.